免許をもっていないと、出世は遅くなりますか？

いえ、免許の有無で評価が変わることはありません。
免許を持っているから出来る業務(送迎など)もありますが、ただ、ほぼ全ての業務は免許を持っていなくても出来ます。
役職者にも免許を持っていない者は多くいますのでご安心ください。